Идеальный газ, состоящий из N молекул, дипольный момент каждой из которых рпомещен в однородное электрическое поле напряженностью E. Вычислите величинувектора поляризации газа. Температура газа Т.

Question

Физика

Еремеев

6 год назад

Идеальный газ, состоящий из N молекул, дипольный момент каждой из которых рпомещен в однородное электрическое поле напряженностью E. Вычислите величинувектора поляризации газа. Температура газа Т.

ОТВЕТЫ

Maurer Brigitte

Oct 7, 2020

Потенциальная энергия одного дипольчика во внешнем электрическом поле равна

$E_p= -(mathbf{p}cdotmathbf{E}) = -pEcosalpha$

Где α - угол между диполем и внешним полем (может быть от нуля до 180)

Будем полагать, что в равновесном состоянии распределение диполей по энергиям задается распределением Больцмана:

$w(E_p) = Cexp(-E_p/kT)$ ,

Где C - некая нормировочная константа

Перейдем от распределения по энергиям к распределению по переменной $x = cosalpha$

$displaystyle\w(x) = w(E_p(x))left|frac{dE_p}{dx}right| = CpEexp(pEx/kT) = C_1exp(pEx/kT)$

Найдем новую нормировочную константу C_1

$displaystyleintlimits_{-1}^1C_1exp(pEx/kT)dx = 1\C_1kT/pEcdot[exp(pE/kT)-exp(-pE/kT)] = 1\C_1 = frac{pE}{2kTsinh(pE/kT)}$

sinh - гиперболический синус.

Найдем средний косинус угла, который составляют диполные моменты молекул с полем

$displaystylelangle x rangle = intlimits_{-1}^1xC_1exp(pEx/kT)dx = \C_1left(frac{kT}{pE}right)^2intlimits_{-pE/kT}^{pE/kT}uexp(u)du = \C_1left(frac{kT}{pE}right)^2left[exp(pE/kT)(pE/kT-1) - exp(-pE/kT)(-pE/kT-1)right] = \2C_1left(frac{kT}{pE}right)^2left[frac{pE}{kT}coshfrac{pE}{kT}-sinhfrac{pE}{kT}right] = cothfrac{pE}{kT}-frac{kT}{pE}$

Так как задача симметрична относительно вращений вокруг вектора поля E, средний дипольный момент газа будет иметь ненулевую проекцию только на направление этого вектора. Проекция усредненного вектора поляризации газа на это направление, соственно, равна

$displaystyle\P = frac{pNlangle xrangle}{V} = frac{pN}{V}left[cothfrac{pE}{kT} - frac{kT}{pE}right]$

Где V - объем газа, coth - гиперболический котангенс

Как правило, множитель pE/kT очень мал, поэтому для выражения в скобках справедливо приближенное равенство

$displaystylecothfrac{pE}{kT} - frac{kT}{pE}approx frac{pE}{3kT}$

12