Cледом квадратной матрицы называется сумма элементов её главной диагонали. Доказать, что для любых матриц A и B таких, что имеют смысл оба произведения AB и BA, следы матриц AB и BA совпадают

Пусть даны матрицы . Т.к. определено произведение , . Т.к. определено произведение , .

А значит даны матрицы

Пусть .

По определению, . - сумма произведений соответствующих элементов iой строки матрицы A и iого столбца матрицы B, т.е. =>

Аналогично

Т.к. пределы суммирования не зависят от переменных, то знаки суммирования можно поменять местами:

А теперь заметим, что, переобозначив переменные , получим - а это и означает, что

Ч.т.д.