на каждой из клеток доски 5*5 сидит по жуку. каждый из жуков переполз в соседнею клетку. докажи что в какой то клетке оказалось хотя бы 2 жука

Раскрасим доску 5x5 в шахматном порядке. (черные и белые клетки)

В левом верхнем углу будет черная клетка, а далее идет чередование.

Таким образом, поскольку - число нечетное, то всего имеем

черных и белых клеток.

Предположим, что после переползания жуков в каждой клетке оказался один жук. Иначе говоря, один жук =один цвет.

Когда жук переползает в соседнюю клетку её цвет меняется на противоположный, а значит, те жуков, которые стояли на черных клетках, теперь должны стоять на РАЗЛИЧНЫХ -ти белых клетках, но тогда -му жуку некуда деваться.

Мы пришли к противоречию, а значит в какой-то  из клеток должно оказаться хотя бы два жука.

Более того, можно добиться, чтобы только в одной клетке оказалось ровно два жука. Это произойдет если первые 4 ряда поменяются местами, а в пятом ряду первые четыре жука поменяются с соседними. Ну а последнему пятому жуку придется залететь к кому то в гости...