В учебной группе 12 школьников. Каждый день двое из них дежурят. Через 11 дней оказалось, что никакая пара школьников не дежурила дважды. Какое наибольшее количество школьников могло ни разу не подежурить за эти 11 дней?

Пусть x — школьники, которые дежурили. Тогда ответом будет число 12 - x. Так как оно должно быть максимальным, число x должно быть минимальным. Значит, нужно подобрать такое минимальное x, при котором из этого числа людей возможно составить не менее 11 пар.

C_{x}^2 = dfrac{x(x-1)}{2}C

x

2

=

2

x(x−1)

— это парабола с вершиной в точке x = 0,5. Ветви направлены вверх, значит, при x ≥ 0,5 функция возрастает. Заметим, что при x = 5 количество пар равно 10, а при x = 6 — 15. Значит, нужно не менее 6 школьников, чтобы составить не менее 11 различных пар. Тогда ни разу не дежурило не более 12 - 6 = 6 человек.