Задание не из простых, но че поделаешь, решить надо $left { {{x = y^{3}-3y } atop {y = x^{3}-3x }} right.$

Question

Математика

Борис

5 год назад

Задание не из простых, но че поделаешь, решить надо $left { {{x = y^{3}-3y } atop {y = x^{3}-3x }} right.$

ОТВЕТЫ

Manning Cory

Oct 6, 2020

Два уравнения составляют симметрическую систему, решение которой не изменится, если заменить x на y и y на x.

В приложениях аналитическое решение и графическое.

Пояснения к графическому способу.

При замене переменных уравнения идентичны, графики будут симметричны относительно прямой y=x.

Три решения системы расположены на прямой y=x.

$displaystyleleft { {{x=y^3-3y} atop {y=x^3-3x}} right.Rightarrowleft { {{x=y~~~~~~~} atop {y=x^3-3x}} right.\\\left { {{x=y~~~~~~~} atop {x=x^3-3x}} right.Leftrightarrowleft { {{x=y~~~~~~~} atop {x^3-4x=0}} right.\\\left { {{x=y~~~~~~~} atop {x(x^2-4)=0}} right.Leftrightarrowleft { {{x=y~~~~~~~~~~~~} atop {x(x-2)(x+2)=0}} right.$

$boldsymbol{y_1=x_1=0;y_2=x_2=2;y_3=x_3=-2}$

Три решения системы расположены на прямой y=-x

$displaystyleleft { {{x=y^3-3y} atop {y=x^3-3x}} right.Rightarrowleft { {{y=-x~~~~~~~} atop {y=x^3-3x}} right.\\\left { {{y=-x~~~~~~~} atop {-x=x^3-3x}} right.Leftrightarrowleft { {{y=-x~~~~~~~} atop {x^3-2x=0}} right.\\\left { {{y=-x~~~~~~~} atop {x(x^2-2)=0}} right.Leftrightarrowleft { {{y=-x~~~~~~~~~~~~~~~~} atop {x(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0}} right.$

$boldsymbol{x_1=y_1=0;x_4=sqrt2; y_4=-sqrt2;x_5=-sqrt2; y_5=sqrt2}$

Четыре оставшихся решения получить графически можно только приблизительно.

Ответ : Система имеет 9 решений

$(0;0);~(-2;-2);~(2;2);~(sqrt2;-sqrt2);~(-sqrt2;sqrt2);\\Bigg(dfrac{sqrt5+1}2;dfrac{sqrt5-1}2Bigg);~Bigg(dfrac{sqrt5-1}2;dfrac{sqrt5+1}2Bigg);\\Bigg(dfrac{-sqrt5+1}2;dfrac{-sqrt5-1}2Bigg);~Bigg(dfrac{-sqrt5-1}2;dfrac{-sqrt5+1}2Bigg)$

914