Докажите по индукции данное утверждение, пожалуйста по подробнее

Question

Математика

Руфиниан

5 год назад

Докажите по индукции данное утверждение, пожалуйста по подробнее

ОТВЕТЫ

Тимур

Oct 6, 2020

Условие не является полным. Это известное неравенство так называемое неравенство Бернулли и оно гласит, что для $alpha geq -1$ имеет место неравенство $(1+alpha)^ngeq 1+nalpha,~ n in Z_+$

1) При $n=0$ база индукции выполнено: $1geq 1$

2) Предположим, что для $n=k$ имеет место неравенство

$(1+alpha)^kgeq 1+kalpha$

3) Докажем, что $(1+alpha)^{k+1}geq 1+(k+1)alpha$

$(1+alpha)^{k+1}=(1+alpha)(1+alpha)^kgeq (1+kalpha)(1+alpha)= 1+kalpha+alpha+kalpha^2geq\ \ geq1+kalpha+alpha=1+(k+1)alpha$

Неравенство верно из предположения 2). Утверждение доказано.

795