Докажите, что $frac{1}{1^{2} } + frac{1}{2^{2} } + ... + frac{1}{100^{2} }textless2$

Question

Математика

Muniwield

4 год назад

Докажите, что $frac{1}{1^{2} } + frac{1}{2^{2} } + ... + frac{1}{100^{2} }textless2$

ОТВЕТЫ

Ерофей

Oct 5, 2020

$dfrac{1}{1^2}+dfrac{1}{2^2}+...+dfrac{1}{100^2}<dfrac{1}{1^2}+dfrac{1}{1*2}+dfrac{1}{2*3}+...+dfrac{1}{99*100}=(*)=1+(1-dfrac{1}{2})+(dfrac{1}{2}-dfrac{1}{3})+...+(dfrac{1}{99}-dfrac{1}{100})=1+1-dfrac{1}{100}=2-dfrac{1}{100}<2$

Ч.т.д.

$(*);;;;;;forall; nin N:;;;;; dfrac{1}{n(n+1)}=dfrac{A}{n}+dfrac{B}{n+1}=> 1=(A+B)n+A =>left { {{A+B=0} atop {A=1}} right. =>left { {{A=1} atop {B=-1}} right. => dfrac{1}{n(n+1)}=dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n+1}$

328