Найдите $limlimits_{ntoinfty}dfrac{sumlimits_{k = 1}^n k^alpha}{n^2}, alphatextless1$

Question

Математика

Филипп

5 год назад

Найдите $limlimits_{ntoinfty}dfrac{sumlimits_{k = 1}^n k^alpha}{n^2}, alphatextless1$

ОТВЕТЫ

Ruslan

Oct 5, 2020

0.

Пошаговое объяснение:

Обозначим

$x_n=sumlimits_{k=1}^nk^alpha \y_n=n^2$

Очевидно, $y_n$ возрастает и при этом множество членов этой последовательности неограниченно сверху.

Вычислим предел $limlimits_{n to infty} frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ , учитывая что $alpha -1<0$ :

$limlimits_{n to infty} frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=limlimits_{n to infty} frac{sumlimits_{k=1}^nk^alpha - sumlimits_{k=1}^{n-1}k^alpha }{n^2-(n-1)^2} =limlimits_{n to infty} frac{n^alpha }{2n-1} =limlimits_{n to infty} frac{n^{alpha-1} }{2-frac{1}{n} }=0$

Этот предел существует, поэтому, по теореме Штольца, искомый предел также равен нулю.

878