Определите все пары простых чисел p и натуральных n, для которых $p^{3}-p^{2}n-18p = 2n^{2}-3n+1$

Question

Шульга

6 год назад

ОТВЕТЫ

Лидия

Oct 5, 2020

Преобразуем

$p(p^2-pn-18) = (2n-1)(n-1)$

То есть правая часть обязана делиться на p, то так как p простое возможно два варианта: либо 2n-1 = p либо n-1 = p

Рассмотрим первый

$(2n-1)((2n-1)^2-(2n-1)n-18) = (2n-1)(n-1)\4n^2-4n+1-2n^2+n-18 = n-1\2n^2-4n-16=0\n^2-2n-8=0\(n-4)(n+2)=0$

Натуральный корень n=4, при этом 2n-1 = 7 - простое число.

Рассмотрим второй

$(n-1)((n-1)^2-(n-1)n-18) = (2n-1)(n-1)\n^2-2n+1-n^2+n-18 = 2n-1\3n+16=0$

Натуральных решений нет

существует единственная пара n=4, p=7

858