Cледом квадратной матрицы называется сумма элементов её главной диагонали. Доказать, что для любых матриц A и B таких, что имеют смысл оба произведения AB и BA, следы матриц AB и BA совпадают

Question

Математика

Zhenipelp

6 год назад

Cледом квадратной матрицы называется сумма элементов её главной диагонали. Доказать, что для любых матриц A и B таких, что имеют смысл оба произведения AB и BA, следы матриц AB и BA совпадают

ОТВЕТЫ

Evelina

Oct 5, 2020

Пусть даны матрицы $A_{atimes b}=(a_{ij})_{atimes b}, B_{ctimes d}=(b_{ij})_{ctimes d}$ . Т.к. определено произведение $AB$ , $b=c$ . Т.к. определено произведение $BA$ , $d=a$ .

А значит даны матрицы $A_{atimes b}, B_{btimes a}$

Пусть $AB=C_{atimes a}=(c_{ij})_{atimes a}, BA=D_{btimes b}=(d_{ij})_{btimes b}$ .

По определению, $trC=sumlimits_{i=1}^ac_{ii}$ . $c_{ii}$ - сумма произведений соответствующих элементов iой строки матрицы A и iого столбца матрицы B, т.е. $c_{ii}=sumlimits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$ => $trC=sumlimits_{i=1}^asumlimits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$

Аналогично $trD=sumlimits_{i=1}^bsumlimits_{j=1}^ab_{ij}a_{ji}$

Т.к. пределы суммирования не зависят от переменных, то знаки суммирования можно поменять местами: $trD=sumlimits_{i=1}^bsumlimits_{j=1}^ab_{ij}a_{ji}=sumlimits_{j=1}^asumlimits_{i=1}^bb_{ij}a_{ji}$

А теперь заметим, что, переобозначив переменные $[ito j;jto i]$ , получим $sumlimits_{j=1}^asumlimits_{i=1}^bb_{ij}a_{ji}=sumlimits_{i=1}^asumlimits_{j=1}^bb_{ji}a_{ij}=sumlimits_{i=1}^asumlimits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$ - а это и означает, что $trC=trD$

Ч.т.д.

577