В чём разница между словами почему и посему?

У этих выражений совершенно разный смысл. Нужно просто заменить устаревшее, напоминающее академика на лекции "посему", на равносильное "поэтому", чтобы понять их отличие.

Почему - скорее, вопросительное слово (уж не знаю, какая это часть речи).

Посему - это, наоборот, утвеждающее слово.

Пример.

"Почему вы не выполнили задание?" - "Я вчера женился, посему мне было как-то не до этого!"