Можно ли зарегистрироваться в службе занятости с липовой трудовой книжкой?

Если трудовая была утеряна, то ваши действия вполне правомерны и никакого криминала тут нет. Можно с такой трудовой делать все что угодно никто НЕ придерется. Липовой трудовая считается, если вы сами вносили записи в нее, несоответствующие действительности. Такие записи служба занятости может легко выявить, сделав запрос в ПФР, у них данные о всех местах работы каждого гражданина, начиная с 2002 года имеются. Если в трудовой записей больше, чем в ПФР, то это выявят и будут признаки подлога документов и основание для уголовной ответственности. Если записей столько-же или меньше, то ничего криминального тут нет.