Какой смысл предложения: Лев Николаевич занимался с гувернантками на дому?

Слово "гувернантки" указывает, что гувернантки проводили занятия, то есть учили, как бы им это положено по статусу, а их учеником был Лев Николаевич. Хотя если Лев Николаевич директор заведения, готовящего гувернанток, то всё наоборот, как у Андрея Петровича.

Смотреть надо по смыслу, логически. А если Петя занимался с Машей (допустим, геометрией, а то ходят здесь всякие и думают про какую-то подоплеку), то они просто вдвоем сидели и что-то решали. При этом как Маша могла показывать Пете решения задач, так и Петя Маше. Предложение действительно двусмысленное и допускает оба варианта. Без знания контекста мы не поймем, кто из них в этом "ведущий", а кто "ведомый" или они на равных.

Чтобы не исказить смысл, то можно написать так: "Льва Николаевича на дому учили гувернантки".