Данные о прививках с другого города, можно на эл.почту запросить?

Зависит от поликлиники, а то и от больницы. Потому что правда, как угадать, что запрос идет от носителя прививок - раз, и что он действительно нуждается в этом, что заказ из другой поликлиники согласован с носителем - два?

Могут потребовать не просто лист на электронную почту, а именно факс, и чтобы там была печать, так что не сгодится то, если в нужном кабинете найдут сведения и скинут на почту.

А договариваться, чтобы человек из документационного кабинета, который распечатает лист с прививками, еще и сходит за печатью, еще и найдет факс, которого - серьезно - может не оказаться в здании поликлиники, и отправит листок, это нечто невероятное.

Тут может помочь, если есть родные в другом городе, которые это сделают.