Как доказать сходимость ряда и найти его сумму?

Нужно почленно разделить числитель выражения для каждого члена, на знаменатель. Тогда получится так: а(n-ое)=2^n/10^n+5^n­/10^n=1/5^n+1/2^n. При стремлении n к бесконечности, оба выражения, а значит и их сумма, т.е. очередной член ряда стремятся к нулю.

Если разделить ряды со степенями 5 и 2, то получим такие геометрические прогрессии:

1/5+1/25+...+1/5^n, сумма которой (1/5)/(1-1/5)=1/4=0,­25, и 1/2+1/4+...+1/2^n, сумма которой (1/2)/(1-1/2)=1.

Таким образом сумма этого ряда равна 0,25+1=1,25.