Как пишется: не спящий или неспящий?

Неспящий является прилагательным и с -не- пишется, как и другие слова этой части речи. В частности если есть в предложении есть противоречие с союзом -а-, тогда пишется раздельно. В других случаях пишется слитно.

Примеры предложений

Неспящий вулкан начал свое извержение лавы. Не спящий, а бодрствующий человек быстро вышел из комнаты.