Связаны ли слова культ и культура­?

Конечно.

Культура - это культ, а точнее - культ обжитой(кем-то,каким­-то Народом) земли.

Культурный человек - тот, кто знает, приемлет и почитает иЗконные, традиционные культы своего Народа, прошлое своего Народа.