В День Города учебные заведения работают？

Нет в праздник День города учебные заведения не работают. Этот день объявляется входным днем для всех муниципальных учреждений без исключения, а учебные заведения как раз относятся к муниципальным.

А вот частные компании могут предоставить, а могут и не предоставить выходной день своим сотрудника. Федеральные же учреждения будут работать в обычном режиме.