Почему данное квадратное неравенство нельзя сократить на (x+4)?

Потому что при х=-4 (а также при х=3/2) знаменатель неравенства обращается в нуль. А на нуль делить нельзя. Вот посмотрите, если мы представим неравенство в таком виде:

[(х-4)/(2х-3)]*[(x+4­)/(x+4)], Выражение [(x+4)/(x+4)] равно 1 при всех значениях, но при значении х=-4 оно превращается в неопределённость 0/0, а само неравенство становится таким [(х-4)/(2х-3)]*0/0>0

Поэтому нужно предварительно вычислить корни знаменателя 2x^2+5x-12≠0, а это как раз х=-4 и х=3/2, и установить область допустимых значений (ОДЗ): х∈ (-∞;-4)∪(-4;3/2)∪(3/­2;+∞), и решения неравенства находить только в ОДЗ.