Имеют ли право заставлять лезть на лестницу человека кот. боится высоты?

В вопросе есть некоторое противоречие:

и

Не лезли "все", а претензии только к вам? Или ко всем претензии? Если только к вам - можно и апеллировать ко "всем" и общему нежеланию лезть на высоту.

Если же это не входит в ваши обязанности - вы, разумеется, и не обязаны этого делать. Как не обязаны и ничего доказывать.

Но! Если ваша цель - избежать конфликта и отказаться - но так, чтобы к вам не было претензий, поступайте хитрее. Во-первых, можно поинтересоваться, будет ли кому-то легче, если вы свалитесь? И кто за это, если что, ответит?

Во-вторых, ну полезьте. поднимитесь до середины и сделайте вид, что оступились. Или голова кружится. Сумеете изобразить убедительно - вас сгонят с лестницы и впредь близко к ней не подпустят.

И хорошо бы в дальнейшем стараться на работе даже на стул не вставать. Чтобы всем было понятно: высоты вы боитесь по-настоящему и лучше вас на нее не пускать.