Слова другой, другими - это какая часть речи?

Слова "другой", "другими" являются определительными местоимениями.

В русском языке существуют различные виды местоимений: личные, притяжательные, возвратные, неопределенные, указательные, вопросительные, относительные, взаимные, определительные.

Опредительные местоимения указывают на обобщенный признак предмета. Так же к определительными местоимениями относятся "всякий", "любой", "весь", "сам", "каждый" и др.