Как правильно писать изнеможенный­ или измождённый­? Почему?

Будет зависеть от значения:

1) ИЗМОЖДЁННЫЙ, -ая, -ое; -дён, -дена́, -дено́. Крайне истощённый, изнурённый.

2) ИЗНЕМОЖЁННЫЙ, -ая, -ое; -жён, -жена́, -жено́. Крайне утомлённый, обессилевший, слабый. И. футболист едва держался на ногах. И. путник. // Выражающий изнеможение. И-ое лицо. И. взгляд. И. вид.