Кто регистрирует иностранного студента в России, живущего не в общежитии?

Регистрация производится по месту фактического проживания. Значит, в данном случае, зарегистрировать должны родственники.

Если бы студент проживал в общежитии - тогда учебное заведение.

Закон ФЗ 163 от 27.06.18

К примеру, вот полезная информация от НИУ ВШЭ Санкт-Петербурга. Все доходчиво разъясняется.