Какому современному званию соответствует звание флигель-адъюта­нт?

Флигель-адьютант это чин, а не должность. В свитский чин флигель-адьютанта производили офицера, зачисленного в императорскую свиту. Свой воинский чин флигель-адьютант при этом сохранял и мог быть повышен в чине. В случае производства флигель-адьютанта в генеральский чин он назывался "генерал свиты его императорского величества". Обязанности свиты - сопровождать императора в его поездках.

Рекомендую прочитать стихи Булата Окуджавы:

Современных аналогов свитских чинов нет, как нет придворных чинов вообще. К тому же воинские чины теперь называются "звания".