Как решить задачи по геометрии (действия с векторами)?

Для решения таких задач надо хорошо понимать, что из себя представляет вектор и что такое сумма векторов.

В частности, если поменять местами точки начала и конца векторов, то вектор изменится на противоположный, то есть AB = -BA (жирный шрифт означает, что речь идёт о векторе).

В частности, сумма векторов, по определению, есть вектор, получающийся, если все "слагаемые" пристроить друг к другу так, что начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего. То есть в треугольнике АВС вектор АВ будет суммой вектора, идущего от точка А к точке С, и второго вектора, идущего от точки С к точке В: АВ = АС+СВ. Другой формулировкой этого же определения служит правило параллелограмма.

Обратите внимание на порядок букв в обозначении векторов - он важен! Написать, что АВ= АС+ВС, было бы грубой ошибкой.

Ну и теперь, вооружившись базовыми знаниями, приступим.

Как следует из определения суммы векторов, любую сторону треугольника можно представить в виде векторной суммы двух других, так что выразить ВС через АВ и АС - фигня вопрос, сами справитесь. С остальным надо вспомнить школьную геометрию (подавляющее большинство студиозусов напрочь забывает всё, чему их учили в школе, немедленно по получении аттестата, а часто даже и раньше). 1) Медиана приходит ровно в середину стороны, и 2) Медианы точкой их пересечения делятся в отношении 1:2. Это значит, что ОА составляет 2/3 медианы АD, а OD - 1/3 этой медианы. Эти соотношения сохраняются и для векторного представления медианы.

Осталось только понять, чему же равен вектор AD. Это тоже не штука, и для этого тоже нужна школьная геометрия.

Ещё раз посмотрим на определение суммы, но на этот раз - через правило параллелограмма: сумма векторов есть диагональ параллелограмма, "надетого" на два вектора. Диагонали параллелограмма, как все должны помнить, точкой их пересечения делятся пополам. Это автоматом означает, что а) диагональ параллелограмма и есть продолжение медианы, опущенной на сторону треугольника, и б) длина медианы есть половина длины диагонали.

В нашем конкретном случае медиана AD будет равна половине суммы векторов, выходящих из точки А, то есть AD = ½ (AB+AC). После чего не штука сообразить, чему равны отдельные куски этой медианы.

Теперь, зная, как строится сумма векторов (то есть зная определение суммы векторов), не штука сообразить и чему равен вектор AN для прямоугольника. Для этого всего-то и потребуется сообразить, что такое вектор BN/2.

Столь же просто и с трапецией. Если нарисовать - а рисовать никогда не надо лениться! - то сразу станет понятно, что m = AB+DC, n = DC+CB (считаем, что начало обоих векторов лежит на основании AD). Теперь достаточно правильно расставить скобочки в выражении АВ-DВ+DC­-АС, чтобы представить его в виде суммы или разности вот этих двух векторных двучленов. С суммой AD+BC несколько интереснее, но тоже не штука. Для этого достаточно пристроить к трапеции ABCD её же, но перевёрнутую, так чтобы сторона CD пристраивалась с себе самой:

Собсно, из этого рисунка понятно, что m'=m и n'=n, и без всяких слов понятно, чему равна сумма двух оснований...