Надо ли просить прощения у детей?

Нет НЕ НАДО. Особенно каждый день и по каждому поводу. Иначе вы очень быстро превратитесь из авторитета для него в какую то безвольную личность вечно ошибающуюся и никчемную по своей сути.

Прощение МОЖНО просить один или два раза в жизни, только у достаточно взрослых и понимающих детей и только за свои действительно ошибочные действия (после того как вы сами их проанализировали и признали полностью несостоятельными), которые привели к крупным размолвкам, обидам и угрозе разрыва. Или просто надо расставить все точки нади "и", что бы ваши отношения с детьми оставались по прежнему доверительными, откровенными и прямыми.

Ну а в повседневной жизни и общении вполне допустимы извинения, как форма вежливого отношения к младшему поколению. Типа:

• Вася, ты меня конечно извини, но уже завтрак остыл, а ты всё ещё спишь.
• Лена, извини меня пожалуйста, но пора бы тебе, дорогая, и за уроки взяться. Хватит в интернете сидеть.
• Дорогие дети, я понимаю, что вам хочется ещё пообщаться, но извините, скоро полночь, а завтра в школу. Я просто вынуждена прервать ваш интересный диалог. Тем более, что такси уже давно ждёт Машу у ворот.