Можно ли говорить: Мы никуда не прощаемся? Почему?

Ваш вопрос прекрасно иллюстрирует один из примеров, когда при так называемой неполноте высказывания возникают речевые ошибки.

Допустим, что ведущие или гости радиопередачи, завершая первую часть своей программы, желали сказать: "Мы никуда не собираемся уходить, поэтому с вами пока не прощаемся". А при сокращении получилось как раз то, что в вопросе. Наречие "никуда" попало вдруг под управление глаголом "прощаться", что в речевом смысле, конечно же, недопустимо. Прощаться куда-либо нельзя. Так же, как и нельзя, например, поздравлять кем-то, желать о ком-то или здороваться кого-то.

Допускаю, однако, что работники радио, будучи людьми грамотными, могли просто сострить. "Никуда не прощаемся", "никуда не прощаюсь" звучит действительно забавно.