В каких случаях нужно употреблять слово верно, а в каких - правильно­?

ВЕРНО.

Слово верно употребляется в том случае, когда

является в предложении

1 наречием.

Например: Он понял всё верно.

Пример решён верно.

2 вводным словом, которое можно заменить словами должно быть, вероятно.

Они, верно, поладят между собой.

3 частицей, которая подтверждает что-либо, которую можно заменить на действительно, конечно.

Ты забыл, что мне обещал? Верно, забыл.

Это же мой карандаш! Верно, твой.

Слово правильно употребляется в том случае, если является в предложении, как и слово верно

1 наречием

Он решил задачу правильно.

Правильно сложенный фундамент.

2 частицей, которую можно заменить на да, так.

Ты шёл ко мне? Правильно к тебе.

3 вводное слово, которое употребляется в том случае, когда нужно что-либо уточнить.

Я очень тороплюсь. Правильно, у нас совсем нет времени.

Верно и правильно - слова-синонимы и употребляются практически одинаково.

Верно - подразумевается истинно, точно.

Правильно - право, правило.

Слово верно - утверждающее, а слово правильно - уточняющее.