Экономичней ли пользоваться посудомойкой или мыть посуду по старинке?

Ничего не экономичнее, скорее даже наоборот.

Легко посчитать - та вода, что она якобы экономит, легко уходит на минус за вычетом электроэнергии, которая она тратит. И мойка посуды в ней займет больше времени, чем сполоснуть в раковине 3 тарелки за 3 минуты, в тем более в нее нельзя класть сильно-загрязненную посуду. Она реально хоть что-то экономит при полной загруженности после званных обедов, но для небольшой семьи ее использование - просто извращение...