Как пишется: не благосклонно или неблагосклонно?

Речь в данном вопросе идет о наречии с частицей "не", образованного от прилагательного "благосклонный". Соответственно, правило правописания наречий подобного типа сходно с правилом правописания прилагательных с частицей "не". Поскольку существует вариант наречия "благосклонно", то частица "не" может писаться с ним как слитно, так и раздельно. Все зависит от смысловой наполненности фразы.

Чаще всего на необходимость раздельного написания указывает наличие противопоставления с союзом "а".

Он смотрел на меня неблагосклонно. Он смотрел на меня не благосклонно, а напротив, с выраженным неудовольствием.

Важно отметить, что если в предложении присутствует союз "но", "не" с наречием пишется слитно.

Он смотрел на меня неблагосклонно, но без злости.