Какие слова в русском языке имеют то же происхождение, что и слово родий?

Честно говоря, трудно судить, что имел ввиду автор. Ведь слово Родий не русское, оно произошло от греческого слова Роза ("родон") , т.к. он темно-красного цвета. Если смотреть происхождение по смыслу, тогда необходимо привлечь к ответственности все слова, связанные с розой так или иначе. Но может быть автор имел звучание слова? Тогда безусловно можно припомнить, что слово родий нашли в самородной платине и это самый дорогой металл. И тогда сюда впишутся и слова самородок и даже Родина и порода и природа. В общем, все, содержащее корень "род". Ну а реально однокоренное слово с родием есть - это родирование.

Означает оно нанесение на разные ювелирные изделия тончайшего слоя родия(примерно 0,1-0,25мкм).

Нигде не нашла, но вероятно соли родия можно назвать родииты.