Как правильно говорить: быстро бегающий или быстро бегущий?

Если существуют глаголы "бегают" и "бегут", то от обоих глаголов образуются действительные причастия: "делающий" и "бегущий".

Различие у этих глаголов следует искать в значениях.

Глагол "бегают" выражает действие либо постоянное, либо протяженное во времени, либо регулярно повторяющееся.

Глагол "бегут" выражает, скорее, конретное действие в данный момент "здесь и сейчас".