Должен ли солдат в части отказаться от дежурства из за недосыпа?

Отказаться не может, ибо приказ. Обжаловать, потом, после выполнения приказа, может согласно уставу.

Отправлять усталого солдата нести караульную службу нельзя, по тому же уставу, тем более в наказание. Но это забота командира, а не солдата. Солдат существо безропотное.