Как разобрать по составу слово торопясь­?

От глагола несовершенного вида "торопиться" можно образовать деепричастие "торопясь".

Корень у этих двух слов -- тороп-, как и в однокоренных словах "торопливый, расторопный, неторопливость, поторопиться" и т.п.

Слова из этого небольшого списка однокоренных слов указывают на отсутствие приставки в заданном слове.

Образовано же это деепричастие при помощи суффикса -я, который не создал какое-то новое слово, а только изменил его форму, придав ему неизменяемый вид, уподобив его наречию.

Это формообразующий суффикс, он не входит в основу слова.

В соответствии со школьной программой в основу разбираемого деепричастия включается и постфикс "-сь" (возвратный суффикс). Так что основа получается прерывистой: тороп_сь.

Окончания у деепричастий, как у неизменяемой части речи, не бывает.

Виталий завтракал на ходу, опаздывая на лекции и поэтому торопясь.