Можно ли мыть в посудомоечной машине деревянную посуду?

Нельзя. Посудомоечная машина моет только с использованием специальных химических средств, причем не одного, а трёх, в комплексе, соль, хим реагент, ополаскиватель химический.

Дерево впитает в себя химию и будет отправлять Вам пищу.