Как правильно пишется поднапрячь­?

Совершенно верно это слово прописано в вопросе поднапрячь.

Порой возникает сомнение - не вставить ли твёрдый знак после приставки, как будто он просится туда, отметаем всякие сомнения.

А в конце слова непременно пишется мягкий знак, даже если звучит окончание недостаточно мягко или откровенно твёрдо, при произношении этого слова.

Можно сравнить написание слова поднапрячь с написанием похожих на него слов русского языка: поднатореть или поднанять, также и поднапереть.

Все эти слова на мой слух недостаточно благозвучно произносятся, но они существуют и пишутся именно так, запоминаем,

ответ : поднапрячь