Ельцин или Ельцын? Как нужно писать и почему?

Правописание в воспроизведении фамилий даёт сбой. Никакие правила не действуют. Хоть "Коровин" через "ять" пишите - все одно будет правильно. Так и в приведенном Вами, уважаемый автор вопроса, правило, что после "Ц" всегда пишется "И", за исключением "цыган,цыпленок, цыц и цыпочки".

Вот как напишет паспортист(ка) в документе, так и будет читаться "хвамилия".