Какие решения у равенства, если х = у^ 2?

Решение. Пусть x^y=y^x, где x=y². Данное уравнение имеет решение, если x=y≠0. Подставим в него значение x=y². Наше уравнение примет вид:

y^(2y)=y^(y²).

Логарифмируя обе части последнего выражения, получим:

2yln(y)=y²ln(y).

Перенесём правую часть полученного равенства в левую часть и выделим общий множитель:

(2y–y²)•ln(y)=0, или

y•(2–y)•ln(y)=0.

Корни последнего уравнения легко находятся:

y=0=>y1=0, 2–y=0=>y2=2, ln(y)=0=>y3=1.

Т. к. значение y1=0 противоречит условию y≠0, то получаем следующие пары решений исходного уравнения:

y=2, x=2²=4; y=1, x=1²=1.

Ответ: (4;2), (1;1).