Как правильно: Старый Новый год, Старый новый год или старый новый год?

Здесь нет ни одного правильного варианта. Правильно сказать "новый год по старому стилю". Прописные буквы не нужны, так как ни "новый", ни "старый" не являются именами собственными. Хотя конечно, сочетание "Новый год" можно рассматривать как название праздника, в таком случае оно является именем собственным. Но в то же время, "новый год" может использоваться не в значении названия праздника, а просто в нарицательном значении. Тогда нужно писать со строчной буквы.