Кака правильно пишется: не заботясь или незаботясь?

Поставим вопрос к слову. Что делая? - не заботясь. На такой вопрос отвечают только те слова, которые относятся к деепричастиям, а это особая форма глагола. Деепричастия, как и глаголы, могут писаться раздельно с частицей НЕ и слитно. В большинстве случаев - раздельно. Слитно же пишем тогда, когда слово без НЕ не употребляется, а также в том случае, когда есть приставка недо- и значение неполноты действия. Последние случаи не подходят к слову "не заботясь", поэтому его нужно писать раздельно с НЕ.