Какой православный праздник отмечается 1 января по новому стилю?

Интересно, что Вы подразумеваете под "новый стиль", ведь от этого зависит и сам ответ на Ваш вопрос. Потому что в предыдущих ответах все отвечали, исходя из русского понимания понятия "новый стиль", то бишь празднование по Юлианскому календарю подвижных праздников, например Рождество - 7 января. В данном случае "новым" называется смещение дней гражданского календаря, а само празднование осталось по-старому.

В других странах под "новым стилем" подразумевается празднование по Григорианскому календарю подвижных праздников, например Рождество Христово приходится на 25 декабря. В этом случае "новым" является смещение самого праздника на 14 дней вперед. А "старым стилем" называется празднование по Юлианскому календарю. Такой расклад понятий довольно часто вводит верующих и неверующих разных православных стран в замешательство и путаницу.

Так если Вы имеете ввиду Григорианский "новый стиль", то в Греции, Румынии, Болгарии и в ряде поместных церквей в Европе 1 января празднуют Обрезание Господне и память св. Василия Великого. При этом там это традиционно большой праздник, очень много именинников, пост уже благополучно кончился и праздник получается как церковный, так и светский (Новый год ведь), хотя, разумеется, каждый ставит акцент на тот праздник, который больше соответствует его миропониманию и складу души.