Передаётся ли благородство по наследству?

Безусловно, передается. Просто под "по наследству" не обязательно означает "генетически"... впрочем, в вопросе ничего и не сказано о генетике.

Благородство же может передаваться:

• для начала - все же генетически. Если пять-десять поколений предков были благородными (и обладая соответствующими личностными чертами "благородства", и желательно - в буквальном смысле, представляли верхние слои общества) - весьма вероятно, что за несколько столетий в их потомстве отобрались и закрепились некие врожденные черты, определяемые в данном обществе как "благородные"
• воспитанием. Весьма вероятно, что "благородные" люди передадут хотя бы некоторые из "благородных" качеств и своим детям, выросшим в семье с соответствующей культурной средой
• наконец, "благородство"... впрочем, уже без всяких кавычек, благородство в прямом смысле, как происхождение - безусловно, передается по наследству. Дети представителей "благородных" сословий также считаются "благородными".

Вот примерно так.