РазгИльдяй или разгЕльдяй: как правильно? Пишем И или Е?

Как выше было сказано, это слрварное слово, в корне которого пишется - и-.

Сегодня этим обозначением "награждают" неорганизованного, недисциплинированног­о, безответственного человека. Однако исторически разгильдяями называли людей, изнанных из гильдии, например купеческой, за нарушение её уставов или аморально поведение. На это указывает корень -гильд- и приставка -раз-, имеющая значение разъединения, удаления (например, развод, разъезд, раздор и др.).

Т.е. в принципе, зная этимологию слова, безударную гласную в корне можно проверить словом "гильдия".

Ответ: Слово "разгильдяй пишется через -и-.