Как пишется: картонный или картоный?

Картон => картон/н/ый.

Правильно писать заданное слово именно так -- с двумя "н", потому что это прилагательное (слово обозначает признак предмета, отвечая на вопрос "какой?") образовано от имени существительного "картон", основа которого оканчивается тоже на "н".

Таким образом, в слове оказываются рядом два "н": один от основы, второй -- суффикс прилагательного "н", очень распространенный, продуктивный суффикс при образовании прилагательных от существительных, как, к примеру, и в словах:

каменный (от "камень"), туманный (от "туман"), песенный ("песн/я"), длинный (от "длин/а"), огненный ("от "огонь").

Пусть дети отгадают (и запишут для запоминания слова) загадку:

В этой загадке даже два слова на одно правило о правописании прилагательных с двумя "н".