Как найти площадь прямоугольника зная диагональ и периметр?

Итак, надо найти формулу для нахождения площади через периметр и диагональ.

Пусть стороны прямоугольника будут а и в, диагональ Д, периметр Р.

Периметр находится по формуле:

Р=2(а+в) или Р=2а+2в

Отсюда:

а+в=Р/2 (1)

Возведём (а+в) в квадрат:

(а+в)^2=а^2+2ав+­в^2=а^2+в^2+2ав (2)

Вместо (а+в) в левую часть выражения (2) подставим Р/2 из (1).

(Р/2)^2=а^2+в^2+2ав

(Р^2)/4=а^2+в^2+2а­в (3)

Для диагонали запишем формулу исходя из теоремы Пифагора (половина прямоугольника разделённого диагональю - прямоугольный треугольник):

Д^2=а^2+в^2 (4)

Подставим (4) в (3):

(Р^2)/4=Д^2+2ав

Отсюда:

2ав=(Р^2)/4-Д^2;

2ав=((Р^2)-4(Д^2))/4­;

ав=(Р^2-4Д^2)/4/­2=(Р^2-4Д^2)/8 (5)

Площадь прямоугольника находится по формуле:

S=ав, следовательно, подставив вместо (ав) выражение (5), получим

S=(Р^2-4Д^2)/8

Теперь можно подставить цифры.

S=(54^2-4*26^2)/8=(2­916-4*676)/8=(2916-27­04)/8=212/8=26,5 (ед.^2)