Как пишется: убийцей, убийцой или убийцем? Почему?

Имя существительное убийца относится к первому склонению как существительное женского рода, оканчивающееся на "а".

Окончание -ой, -ей является окончанием творительного падежа.

И с любым из приведенных предлогов употреблен именно падеж творительный, что легко определяется по вопросу.

Например.

Девчонка-то приметливая... по фотороботу вычислила и следила за убийцей (за кем?), а потом побежала в милицию.

Историю с убийцей (с кем?) она, конечно же, приукрасила, но мальчишки слушали её с неподдельным интересом.

Они сомневались, что, окажись неожиданно перед убийцей (перед кем?), не спасовали бы, а повели себя, как Валя.

Во всех этих предложениях существительное убийца употреблено в падеже творительном, только с разными предлогами.

А какую гласную ("о" или "е") писать в окончании, подскажет правило правописания этих гласных после шипящих и "ц", которое гласит, что под ударением пишется "о", без ударения -- "е", например: овцой, но курицей; пыльцой, но пшеницей.

Вот и слово убийца в заданной форме творительного падежа единственного числа имеет безударное окончание после согласной ц, поэтому его правильно писать с гласной е -- убийцей.