Не слышим или неслышим­, когда как писать?

Оба варианта верные, но написание этих форм разных слов (и в семантическом, и в грамматическом значении) зависит от их морфологической принадлежности и роли "не" (отрицательная частица или приставка).

1) не слышим (что делаем?) - форма настоящего времени множественного числа 1-го лица глагола несовершенного вида "слышать" (что делать?) с отрицательной частицей "не", которая с большинством глаголов пишется раздельно, например, Мы не слышим, как он поёт;

2) неслышим (каков?) - краткая форма мужского рода единственного числа именительного или винительного падежа полного отглагольного прилагательного "невидимый", "не" - приставка, пишем слитно, напр., Голос твой неслышим среди других.

Есть ещё один случай раздельного написания - при наличии противопоставления, напр., Враг не слышим (каков?), а видим (каков?).