Кашель, насморк, чихание, слёзы, недомогание а температуры нет. Что это?

Такое лучше спрашивать у врачей, но не заочно.

При аллергии возможно такое и при вызванном ей аллергическим бронхите и астме.

И формы ОРЗ без температуры тоже, вроде бы, бывают.