Какая разница между понятиями «изощренный» и «извращенный»?

Если слова звучат и пишутся похоже, это не значит, что в их смысле есть хоть что-нибудь близкое.

• Извращённый - от извратить, это церковнославянизм, по-древнерусски было бы "изворотити", то есть вывернуть. "Не так, как должно, а с обратной стороны" - если пытаться объяснить совсем простыми словами.

• Изощрённый - тоже церковнославянское слово, от глагола "изощрити", который фонетически преобразовался из "изострити", то есть "сделать что-то острым", что в те времена тотального ручного труда было делом сложным и ассоциировалось с достижением совершенства. Сравните с переносным значением в антонимичной паре "острый ум - тупой человек".

Конечно, если брать частный случай вроде анекдотического

то и извращение может быть изощрённым, вроде сибари.

В реальной жизни, вдали от эстетствующих японцев и несмертельных недоразумений, сухим языком юридических формулировок обычно говорят, что деяние было совершено с особой жестокостью или цинизмом, и всем не до смеха, как в "деле Фишера".