Заложить или закласть, залаживать или закладывать? Как пишется?

Верные варианты - это заложить и закладывать. Чтобы верно выбрать вариант для составления предложения, это зависит от контекста.

Заложить (глагол) - это слово произошло от слова залог (существительное). Здесь имеет место чередование "г" и "ж" в соотношении "глагол и существительное". Пример: Он решил заложить свой автомобиль, чтобы взять большой кредит в банке.

Закладывать (глагол) - значит сделать закладку, один документ вложить в другой документ, происходит от слов "закладка" и "заклад". Пример: Он начал закладывать информацию с другого профиля в свои закладки в социальной сети Вконтакте, чтобы не потерять ценную информацию.